RESUMO

Nesse trabalho, estudamos a equação de Schrödinger não-linear com uma função potencial delta atrativa

onde , , representa a delta de Dirac centrada em zero, e . As soluções para essa equação tem uma componente localizada e uma dispersiva. Além de estudar o comportamento das soluções dessa equação em espaços de Sobolev clássicos, nos mostramos algumas propriedades do grupo unitário em espaços , com peso, Sobolev com peso e assim obtemos alguns resultados de boa colocação local e global das soluções. O ponto central desta tese é mostrarmos a existência de uma variedade invariante centro que irá consistir de órbitas periódicas no tempo bifurcando do ponto , onde é o autovalor simples (isolado) do operador . Para isto, nós usamos específicas propriedades da parte do espectro contínuo da solução em espaços de Sobolev com peso. Além disso, mostramos que toda solução com dado inicial pequeno vai se aproximar de uma órbita periódica particular da variedade invariante centro quando . Afim de obtermos os mesmos resultados, sem usar os espaços de Sobolev com peso, finalizamos com uma aplicação mudando a não-linearidade; isto é, estudamos o problema de Schrödinger não-linear

onde é de valor real e satisfaz certas condições sobre regularidade e crescimento como uma função de e tem decaimento quando .

PALAVRAS-CHAVE

Equação de Schrödinger não-linear, Potencial Delta de Dirac, Variedade Invariante Centro, Espaços quando e de Sobolev com peso.

ABSTRACT

In this work, we study the nonlinear Schrodinger equation with an attractive delta function potential

where , , is Dirac delta centered at zero, , . The solutions to this equation have a localized and a dispersive component. In addition to studying the behavior of solutions of this equation in classical Sobolev space, we show some properties for the unitary group in , weighted and Sobolev spaces and so we get some results of local and global well-posedness of solutions. The central theme this thesis is to show the existence of a center invariant manifold, which will consist of time-periodic orbits bifurcating from the point , where is simple eigenvalue (isolated) of operator . For this, we use specifics properties of the spectrum continuous part of the solution in weighted Sobolev space. Furthermore, we show that every solution with small initial data will approach a time-periodic orbit particular in center invariant manifold as . In order to obtain the same results without using weighted Sobolev spaces, we finished with an application changing the nonlinearity; that is, we study the nonlinear problem

where is real-valued and satisfies certain conditions of regularity and growth as a function of and it has decay as .

KEYWORDS

Nonlinear Schrödinger Equation, Delta Dirac potential, Center Invariant Manifold, Weighted and Sobolev Spaces.